Some GAP routines Enumeration by stabilizer type Some numerical results

Some numerical results

A system of representatives of the conjugacy classes of subgroups of D12 together with the numbers of U-invariant partitions and the numbers of D12-orbits of stabilizer type Ũ is given in the table 3: T stands for the permutation (0,1,2,..., 11) and I stands for the permutation (0)(1,11)(2,10)(3,9)(4,8)(5,7)(6). In table 4 a list of all the 54 conjugacy classes of subgroups of Aff (1,Z12) together with the number of U-invariant partitions and the number of U-strata is given. (The subgroup lattice of Aff (1,Z12) was computed with GAP [6].) The permutation Q is given by (0)(1,5)(2,10)(3)(4,8)(6)(7,11)(9).

 

U-invariant partitions and U-strata for D12-mosaics
group order | Ũ | |(Π12)U| |Ũ \\\Π12|
U1= ⟨1⟩ 1 1 4213597 172037
U2= ⟨T6⟩ 2 1 6841 416
U3= ⟨I⟩ 2 6 6841 3227
U4= ⟨TI⟩ 2 6 6841 3242
U5= ⟨T4⟩ 3 1 268 11
U6= ⟨T3⟩ 4 1 111 2
U7= ⟨T6,I⟩ 4 3 349 150
U8= ⟨T6,TI⟩ 4 3 319 136
U9= ⟨T2⟩ 6 1 28 0
U10= ⟨T4,I⟩ 6 2 56 19
U11= ⟨T4,TI⟩ 6 2 54 19
U12= ⟨T3,I⟩ 8 3 37 31
U13= ⟨T2,I⟩ 12 1 18 6
U14= ⟨T2,TI⟩ 12 1 16 5
U15= ⟨T⟩ 12 1 6 0
U16= ⟨T,I⟩ 24 1 6 6
U-invariant partitions and U-strata for Aff (1,Z12)-mosaics
group order | Ũ | |(Π12)U| |Ũ \\\Π12| group order | Ũ | |(Π12)U| |Ũ \\\Π12|
⟨1⟩ 1 1 4213597 83267 ⟨T3,IQ⟩ 8 1 81 1
⟨T6⟩ 2 1 6841 140 ⟨T6,I,Q⟩ 8 3 245 102
⟨IQ⟩ 2 2 43693 3109 ⟨T6,T2Q,T3IQ⟩ 8 3 91 29
⟨T3IQ⟩ 2 2 6841 395 ⟨T3,T2Q⟩ 8 3 31 1
⟨Q⟩ 2 3 14325 1407 ⟨T3,I⟩ 8 3 37 4
⟨T2Q⟩ 2 3 6841 592 ⟨T3Q,I⟩ 8 3 37 4
⟨I⟩ 2 6 6841 1244 ⟨TQ,TI⟩ 8 3 81 25
⟨TI⟩ 2 6 6841 1474 ⟨TQ,T2⟩ 12 1 8 0
⟨T4⟩ 3 1 268 3 ⟨T⟩ 12 1 6 0
⟨T3⟩ 4 1 111 0 ⟨T2IQ,T6⟩ 12 1 20 0
⟨T6,IQ⟩ 4 1 1913 88 ⟨T2,I⟩ 12 1 18 0
⟨T6,T3IQ⟩ 4 1 319 3 ⟨T2,TI⟩ 12 1 16 1
⟨TQ⟩ 4 3 111 5 ⟨TIQ,T6⟩ 12 1 10 0
⟨T6,TI⟩ 4 3 319 41 ⟨T2,Q⟩ 12 1 22 0
⟨T6,Q⟩ 4 3 469 40 ⟨TI,Q⟩ 12 2 22 6
⟨T6,I⟩ 4 3 349 22 ⟨TI,T2Q⟩ 12 2 16 3
⟨T4Q,TI⟩ 4 6 469 183 ⟨T2I,Q⟩ 12 2 34 8
⟨T10Q,TI⟩ 4 6 319 111 ⟨T2Q,I⟩ 12 2 28 5
⟨I,Q⟩ 4 6 1159 449 ⟨T10Q,TI,IQ⟩ 16 3 29 23
⟨IQ,T2Q⟩ 4 6 835 290 ⟨T6,T2Q,I⟩ 24 1 18 6
⟨T4,Q⟩ 6 1 94 2 ⟨T3Q,TI⟩ 24 1 8 1
⟨T4,T2Q⟩ 6 1 54 0 ⟨T3,TIQ⟩ 24 1 6 0
⟨T2⟩ 6 1 28 0 ⟨T6,T2Q,TI⟩ 24 1 10 2
⟨TIQ⟩ 6 2 28 0 ⟨TQ,I⟩ 24 1 6 0
⟨T4,TI⟩ 6 2 54 5 ⟨T,Q⟩ 24 1 6 0
⟨T4,I⟩ 6 2 56 3 ⟨T,I⟩ 24 1 6 0
⟨T2IQ⟩ 6 2 58 3 ⟨T,I,Q⟩ 48 1 6 6

The number of all U1-invariant partitions is just the number of all partitions of 12 which is the Bell-number B(12). The Burnside matrix of D12 was derived by inverting the table of marks of D12 computed with the computer algebra system GAP. It is 1/24 time the following matrix:

1 -1 -6 -6 -1 . 6 6 1 6 6 . -6 -6 . .
. 2 . . . -2 -6 -6 -2 . . 12 6 6 2 -12
. . 12 . . . -12 . . -12 . . 12 . . .
. . . 12 . . . -12 . . -12 . . 12 . .
. . . . 3 . . . -3 -6 -6 . 6 6 . .
. . . . . 4 . . . . . -12 . . -4 12
. . . . . . 12 . . . . -12 -12 . . 12
. . . . . . . 12 . . . -12 . -12 . 12
. . . . . . . . 6 . . . -6 -6 -6 12
. . . . . . . . . 12 . . -12 . . .
. . . . . . . . . . 12 . . -12 . .
. . . . . . . . . . . 24 . . . -24
. . . . . . . . . . . . 12 . . -12
. . . . . . . . . . . . . 12 . -12
. . . . . . . . . . . . . . 12 -12
. . . . . . . . . . . . . . . 24

The Burnside matrix of the group Aff (1,Z12) is 1/48 times the matrix given by:

1 -1 -2 -2 -3 -3 -6 -6 -1 . 2 2 . 6 6 6 12 12 12 12 3 3 1 2 6 6 2 . -24 -24 . . . . . . -2 -6 -6 -2 -6 -12 -12 -12 -12 . 24 . . 24 . . . .
. 2 . . . . . . . -2 -2 -2 -6 -6 -6 -6 . . . . . . -2 . . . . 4 12 12 12 12 12 12 6 2 2 6 6 2 6 . . . . -48 -12 -12 -4 -12 -12 -12 -12 48
. . 4 . . . . . . . -4 . . . . . . . -12 -12 . . . . . . -4 . 24 . . . . . . . 4 . . . . . . 12 12 . -24 . . . . . . .
. . . 4 . . . . . . . -4 . . . . -12 -12 . . . . . -4 . . . . . 24 . . . . . . . . . 4 . 12 12 . . . . . . -24 . . . .
. . . . 6 . . . . . . . . . -6 . -12 . -12 . -6 . . . . . . . 12 12 . . . . . . . . . . 6 12 . 12 . . -12 . . -12 . . . .
. . . . . 6 . . . . . . . . -6 . . -12 . -12 . -6 . . . . . . 12 12 . . . . . . . . . . 6 . 12 . 12 . -12 . . -12 . . . .
. . . . . . 12 . . . . . . . . -12 . . -12 -12 . . . . . -12 . . 24 . . . . . . . . 12 . . . . . 12 12 . -24 . . . . . . .
. . . . . . . 12 . . . . . -12 . . -12 -12 . . . . . . -12 . . . . 24 . . . . . . . . 12 . . 12 12 . . . . . . -24 . . . .
. . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . -3 -3 -3 -6 -6 -6 -6 . . . . . . . . . 6 6 6 6 6 12 12 12 12 . -24 . . -24 . . . .
. . . . . . . . . 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . -4 . . -12 -12 . . . -4 . . . . . . . . . 24 . . 4 . . 12 12 -24
. . . . . . . . . . 4 . . . . . . . . . . . . . . . . -4 -12 . . . . -12 . . -4 . . . . . . . . 24 12 12 4 . . . . -24
. . . . . . . . . . . 4 . . . . . . . . . . . . . . . -4 . -12 . . -12 . . . . . . -4 . . . . . 24 . . 4 12 12 . . -24
. . . . . . . . . . . . 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . -12 . -12 -12 -12 . . . . . . . . . . 24 . 12 . . 12 12 . -24
. . . . . . . . . . . . . 12 . . . . . . . . . . . . . . . -12 . -12 . -12 . . . . -12 . . . . . . 24 . 12 . 12 . . 12 -24
. . . . . . . . . . . . . . 12 . . . . . . . . . . . . . -12 -12 -12 . . . . . . . . . -12 . . . . 24 12 . . 12 . 12 . -24
. . . . . . . . . . . . . . . 12 . . . . . . . . . . . . -12 . . -12 -12 . . . . -12 . . . . . . . 24 12 . . . 12 . 12 -24
. . . . . . . . . . . . . . . . 24 . . . . . . . . . . . . -24 . . . . . . . . . . . -24 . . . . . . . 24 . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 24 . . . . . . . . . . . -24 . . . . . . . . . . . . -24 . . . . . . 24 . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 . . . . . . . . . -24 . . . . . . . . . . . . . . -24 . . 24 . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 . . . . . . . . -24 . . . . . . . . . . . . . . . -24 . 24 . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -6 -12 . -12 . . 12 . . 12 . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . -6 . -12 . -12 . 12 . . 12 . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 . . . . . . . . . . . -6 -6 -6 -6 -6 -6 -6 . . . . . 12 12 12 12 12 12 12 -48
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 . . . . . . . . . . . . . . . -12 . -12 -12 . . . . . . 24 . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 . . . . . . . . . . . . . -12 . . -12 -12 . . . . . . 24 . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 . . . . . . . . . . . -12 . . . . . -12 -12 . 24 . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 . . . . . . . . . -12 . . . . . . -12 -12 . 24 . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . -24 . . -8 . . . . 24
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 . . . . . . . . . . . . . . . . -24 -24 . . . . . . 24
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 . . . . . . . . . . . . . . . -24 . . . -24 . . . 24
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 . . . . . . . . . . . . . . -24 . . . . . -24 . 24
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 . . . . . . . . . . . . . -24 . . . . . . -24 24
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 . . . . . . . . . . . . -24 . . . . -24 . . 24
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 . . . . . . . . . . . -24 . -24 . . . . . 24
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 . . . . . . . . . . . . -12 . . -12 -12 . 24
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 . . . . . . . . . . . . -12 . . -12 -12 24
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 . . . . . . . . . -12 -12 -12 . . . . 24
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 . . . . . . . . -12 . . . -12 . -12 24
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 . . . . . . . . -12 . -12 . . -12 24
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 . . . . . . . . -12 -12 -12 . . 24
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 . . . . . -12 . . -12 . -12 . 24
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 . . . . . . . -24 . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 . . . . . . -24 . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 . . -24 . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 . -24 . . . . . . .
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 . . . . . . -24
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 . . . . . -24
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 . . . . -24
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 . . . -24
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harald.fripertinger "at" uni-graz.at, May 10, 2016

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